5 Vektorrum

For et legeme $\mathbb{F}$ skal vi nu introducere begrebet $\mathbb{F}$ -vektorrum, der betegner en mængde, hvorpå der er defineret en addition og en skalarmultiplikation, som vi kender det fra $\mathbb{F}^n$ . De vigtigste og simpleste eksempler på $\mathbb{F}$ -vektorrum er dermed mængderne $\mathbb{F}^n$ .

I første omgang skal vi gøre os klart, hvad vi skal mene med begreberne addition og skalarmultiplikation. Grundlæggende er begge begreber blot visse afbildninger med passende naturlige egenskaber; dvs. egenskaber der ligner dem, som vi er vant til fra $\mathbb{F}^n$ . Addition defineres ud fra en afbildning

$\mathcal A : V \times V \rightarrow V, \tag{5.1}$ hvor vi minder om, at $V \times V$ består af mængden af par $(\bm{u}, {\bm{v}})$ , for $\bm{u}, {\bm{v}} \in V$ . Vi kan derfor tænke på $\mathcal A$ som en måde, hvorpå man ud fra to givne elementer $\bm{u}$ og ${\bm{v}}$ i $V$ opnår et nyt element $\mathcal A( \bm{u},{\bm{v}})$ i $V$ . Elementet $\mathcal A( \bm{u},{\bm{v}})$ betegnes sædvanligvis med den simplere notation $\bm{u} + {\bm{v}}$ , og omtales som summen af $\bm{u}$ og ${\bm{v}}$ . Tilsvarende er skalarmultiplikation defineret ud fra en afbildning

$\mathcal S : \mathbb{F} \times V \rightarrow V, \tag{5.2}$ hvor $\mathbb{F} \times V$ betegner mængden af par $(\alpha, \bm{u})$ , hvor $\alpha \in \mathbb{F}$ og $\bm{u} \in V$ . Med andre ord, er skalarmultiplikation en måde, hvorpå man til en skalar $\alpha \in \mathbb{F}$ og et element $\bm{u}$ i $V$ kan knytte et nyt element $\mathcal S(\alpha,\bm{u})$ i $V$ . Vi anvender her den simplere notation $\alpha \cdot \bm{u}$ for $\mathcal S(\alpha,\bm{u})$ (til tider skriver vi endda blot $\alpha \bm{u}$ ). Før vi kan omtale $\mathcal A$ og $\mathcal S$ som hhv. en addition og en skalarmultiplikation, så kræves det, at visse identiteter er opfyldt. Dette er netop indholdet af den præcise definition af et $\mathbb{F}$ -vektorrum:

[Vektorrum] Et $\mathbb{F}$ -vektorrum består af en mængde $V$ samt to afbildninger $\mathcal A$ og $\mathcal S$ som ovenfor. Derudover så skal der eksistere et element $\bm{0} \in V$ , så følgende egenskaber er opfyldt:

$\forall \bm{u}, {\bm{v}} \in V : \bm{u} + {\bm{v}} = {\bm{v}} + \bm{u}$ , (den kommutative lov)
$\forall \bm{u}, {\bm{v}}, \bm{w} \in V : (\bm{u} + {\bm{v}}) + \bm{w} = \bm{u} + ({\bm{v}} + \bm{w})$ , (den associative lov)
$\forall \bm{u} \in V : \bm{u} + \bm{0} = \bm{u}$ , (eksistens af neutral element)
$\forall \bm{u} \in V, \exists (-\bm{u}) \in V : \bm{u} + (-\bm{u}) = \bm{0}$ , (eksistens af inverse elementer)
$\forall \alpha \in \mathbb{F}, \forall \bm{u}, {\bm{v}} \in V : \alpha \cdot (\bm{u} + {\bm{v}}) = (\alpha \cdot\bm{u}) + (\alpha \cdot {\bm{v}})$ , (en distributiv lov)
$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \forall \bm{u} \in V : (\alpha+\beta) \cdot \bm{u} = (\alpha \cdot\bm{u}) + (\beta \cdot \bm{u})$ , (en distributiv lov)
$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \forall \bm{u} \in V : \alpha \cdot (\beta \cdot \bm{u}) = (\alpha \beta) \cdot \bm{u}$ , (en associativ lov)
$\forall \bm{u} \in V : 1 \cdot \bm{u} = \bm{u}$ .

Selvom et $\mathbb{F}$ -vektorrum dermed både består en mængde $V$ samt to kompositioner, addition og skalarmultiplikation, så vælger vi sædvanligvis blot at betegne vektorrummet med $V$ . Dette skyldes, at addition og skalarmultiplikation sædvanligvis er givet ud fra sammenhængen. F.eks. betegner $\mathbb{F}^n$ altid $\mathbb{F}$ -vektorrummet med addition og skalarmultiplikation givet som i Afsnit A.1. Tilsvarende omtaler man ofte blot $V$ som et vektorrum, fremfor et $\mathbb{F}$ -vektorrum, hvis det tilhørende legeme $\mathbb{F}$ er givet ud fra sammenhængen.

Fremover anvender vi en notation, hvor skalarmultiplikation er prioriteret højere end addition. Udtryk af formen: $\alpha \cdot \bm{u} + {\bm{v}}$ for $\bm{u}, {\bm{v}} \in V$ og $\alpha \in \mathbb{F}$ (jf. Bemærkning A.2), er dermed ikke tvetydige, men skal opfattes som summen af $\alpha \cdot \bm{u}$ med ${\bm{v}}$ . Notationen er dermed i overensstemmelse med den notation, som vi er vant til fra $\mathbb{F}^n$ .

Elementet $\bm{0}$ i Definition 5.1 omtales som et neutralelement mht. addition eller blot som nulelementet. Det bemærkes, at der kun kan eksistere ét neutral element, idet hvis $\bm{0}'$ opfyldte samme egenskaber som $\bm{0}$ , så ville

$\bm{0} = \bm{0} + \bm{0}' = \bm{0}' + \bm{0} = \bm{0}',$ hvor vi undervejs har brugt egenskaberne (a.) og (c.) i Definition 5.1. Såfremt vi ønsker at specificere det bagvedliggende vektorrum $V$ , så anvender vi også notationen $\bm{0}_V$ om $\bm{0}$ . Det såkaldte additive inverse element $-\bm{u}$ i (d.) er tilsvarende entydigt bestemt ud fra $\bm{u}$ , idet ethvert andet element $-\bm{u}'$ med tilsvarende egenskaber ville opfylde, at

$\begin{aligned} -\bm{u} & = -\bm{u} + \bm{0} & & \text{(ifølge Defn. \href{#def:nvekt}{5.1}\href{#item:def:nvekt:3}{(c.)})} \\ & = -\bm{u} + (\bm{u} + (-\bm{u}')) & & \text{(ifølge Defn. \href{#def:nvekt}{5.1}\href{#item:def:nvekt:4}{(d.)})} \\ & = (-\bm{u} + \bm{u}) + (-\bm{u}') & & \text{(ifølge Defn. \href{#def:nvekt}{5.1}\href{#item:def:nvekt:2}{(b.)})} \\ & = (\bm{u} + (-\bm{u})) + (-\bm{u}') & & \text{(ifølge Defn. \href{#def:nvekt}{5.1}\href{#item:def:nvekt:1}{(a.)})} \\ & = \bm{0} + (-\bm{u}') & & \text{(ifølge Defn. \href{#def:nvekt}{5.1}\href{#item:def:nvekt:4}{(d.)})}\\ & = -\bm{u}' + \bm{0} & & \text{(ifølge Defn. \href{#def:nvekt}{5.1}\href{#item:def:nvekt:1}{(a.)})}\\ & = -\bm{u}' & & \text{(ifølge Defn. \href{#def:nvekt}{5.1}\href{#item:def:nvekt:3}{(c.)})}. \end{aligned}$ Notationerne $-\bm{u}$ og $\bm{0}$ opfører sig samtidigt som man bør forvente, idet:

Lad $V$ betegne et vektorrum og $\bm{0} \in V$ betegne et neutral element som beskrevet i Definition 5.1. For ethvert $\bm{u} \in V$ gælder der, at

$0 \cdot \bm{u} = \bm{0}$ , hvor $0$ betegner nulelementet i $\mathbb{F}$ .
$\alpha \cdot \bm{0} = \bm{0}$ , for alle $\alpha \in \mathbb{F}$ .
$(-1) \cdot \bm{u} = -\bm{u}$ .

Bevis

Udsagn (1.): Lad ${\bm{v}}$ betegne $0 \cdot \bm{u}$ . Ifølge egenskab (f.) i Definition 5.1 gælder, at

${\bm{v}} = (0 + 0) \cdot \bm{u} = 0 \cdot \bm{u} + 0 \cdot \bm{u} = {\bm{v}} + {\bm{v}}. \tag{5.3}$ Dermed

$\begin{aligned} \bm{0} = {\bm{v}} + (-{\bm{v}}) & = ({\bm{v}} + {\bm{v}}) + (-{\bm{v}}) & & \text{(via (5.3) og Defn. \href{#def:nvekt}{5.1}\href{#item:def:nvekt:4}{(d.)})} \\ & = {\bm{v}} + ({\bm{v}} + (-{\bm{v}})) & & \text{(ifølge Defn. \href{#def:nvekt}{5.1}\href{#item:def:nvekt:2}{(b.)})} \\ & = {\bm{v}} + \bm{0} & & \text{(ifølge Defn. \href{#def:nvekt}{5.1}\href{#item:def:nvekt:4}{(d.)})} \\ & = {\bm{v}} & & \text{(ifølge Defn. \href{#def:nvekt}{5.1}\href{#item:def:nvekt:3}{(c.)})} , \end{aligned}$ som ønsket.

Udsagn (2.): Dette følger fra, hvad vi just har vist samt regneregler for vektorrum:

$\alpha \cdot \bm{0} = \alpha \cdot (0 \cdot \bm{0}) = (\alpha \cdot 0) \cdot \bm{0} = 0 \cdot \bm{0} = \bm{0}.$

Udsagn (3.): Ifølge udsagn (1.), som vi allerede har vist, så gælder der, at

$\begin{aligned} \bm{u} + (-1) \cdot \bm{u} & = 1 \cdot \bm{u} + (-1) \cdot \bm{u} & & \text{(ifølge Defn. \href{#def:nvekt}{5.1}\href{#item:def:nvekt:8}{(h.)})} \\ & = (1 + (-1)) \cdot \bm{u} & & \text{(ifølge Defn. \href{#def:nvekt}{5.1}\href{#item:def:nvekt:6}{(f.)})} \\ & = 0 \cdot \bm{u} & & \\ & = \bm{0}. & & \end{aligned}$ Dermed opfylder $(-1) \cdot \bm{u}$ den samme egenskab som $-\bm{u}$ , og pga. entydigheden af additive inverse elementer, så må $(-1) \cdot \bm{u} = -\bm{u}$ .

Identiterne i Definition 5.1 gør, at vi kan regne med addition og skalarmultiplikation, som vi er vant til det fra $\mathbb{F}^n$ . Vi vælger derfor også at anvende notationen $\bm{u} - {\bm{v}}$ om summen $\bm{u} + (-{\bm{v}})$ , der, ifølge det just viste resultat, også er lig $\bm{u} + (-1) \cdot {\bm{v}}$ . Følgende resultat omhandler andre naturlige egenskaber ved vektorrum. Vi overlader beviset herfor til læseren som en simpel og lærerig opgave.

Lad $\bm{u}, {\bm{v}}$ og $\bm{w}$ betegne elementer i et vektorrum $V$ . Så gælder der:

Hvis $\bm{u} + {\bm{v}} = \bm{w}$ så er $\bm{u} = \bm{w} - {\bm{v}}$ .
Hvis $\bm{u} + \bm{w}= {\bm{v}} + \bm{w}$ så er $\bm{u} = {\bm{v}}$ .

Følgende er eksempler på vektorrum:

Mængden $\mathbb{F}^n$ med addition og skalarmultiplikation som beskrevet i Afsnit A.1 er et $\mathbb{F}$ -vektorrum ifølge Proposition A.7. Idet vi kan identificere $\mathbb{F}$ med $\mathbb{F}^1$ , så er $\mathbb{F}$ specielt et $\mathbb{F}$ -vektorrum.
Mængden af matricer $\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ med addition og skalarmultiplikation som defineret i Kapitel 3 er et $\mathbb{F}$ -vektorrum ifølge Proposition 3.3.
Mængden af polynomier $P(\mathbb{F})$ med koefficienter i et legeme $\mathbb{F}$ med uendeligt mange elementer er et $\mathbb{F}$ -vektorrum, såfremt addition og skalarmultiplikation defineres som i Afsnit B.1.
Lad $X$ betegne en ikke-tom mængde og $V$ betegne et $\mathbb{F}$ -vektorrum, og definer herudfra mængden
$\mathcal{F} (X,V)= \left\{ f : X \rightarrow V \text{ en funktion}\right\}. \tag{5.4}$ Så er $\mathcal{F}(X,V)$ et $\mathbb{F}$ -vektorrum med addition defineret ved
$(f+g)(x) = f(x) + g(x) \quad \text{for alle } f,g \in \mathcal{F}(X,V), x \in X, \tag{5.5}$ og skalarmultiplikation defineret ved
$(\alpha \cdot f)(x) = \alpha \cdot (f(x)) \quad \text{for alle } f \in \mathcal{F}(X,V), \alpha \in \mathbb{F}, x \in X. \tag{5.6}$ I begge definitioner har vi udnyttet, at addition og skalarmultiplikation giver mening indenfor $V$ . Bemærk, at funktionen i $\mathcal{F}(X,V)$ der antager værdien $\bm{0}$ overalt er neutralelementet i vektorrummet $\mathcal{F}(X,V)$ . Dermed må den inverse funktion til et $f \in \mathcal{F}(X,V)$ være givet ved
$(-f)(x) = -(f(x)) \quad \text{for } x \in X. \tag{5.7}$ Vi overlader de resterende detaljer til læseren.
En mængde $V=\{ \bm{0} \}$ bestående af et enkelt element $\bm{0}$ kan opfattes som et $\mathbb{F}$ -vektorrum, hvis vi definerer addition ved
$\bm{0} + \bm{0} = \bm{0}, \tag{5.8}$ og skalarmultiplikation ved
$\alpha \cdot \bm{0} = \bm{0} \quad \text{for } \alpha \in \mathbb{F}. \tag{5.9}$ Dette vektorrum kaldes også nulvektorrummet.
Hvis $V$ og $W$ er $\mathbb{F}$ -vektorrum, så kan mængden $V \times W$ naturligt opfattes som et $\mathbb{F}$ -vektorrum. Elementerne i $V \times W$ er par $({\bm{v}},\bm{w})$ bestående af elementer ${\bm{v}} \in V$ og $\bm{w} \in W$ . Vi definerer da addition og skalarmultiplikation koordinatvis; dvs. ved:
$\begin{aligned} ({\bm{v}},\bm{w}) + ({\bm{v}}', \bm{w}') &= ({\bm{v}}+{\bm{v}}', \bm{w}+\bm{w}'), \\ \alpha \cdot ({\bm{v}},\bm{w}) & = ( \alpha \cdot {\bm{v}}, \alpha \cdot \bm{w}), \end{aligned}$ for alle ${\bm{v}}, {\bm{v}}' \in V, \bm{w},\bm{w}' \in W$ og $\alpha \in \mathbb{F}$ . Neutralelementet er da $(\bm{0}_V,\bm{0}_W)$ , mens det inverse element til $({\bm{v}},\bm{w})$ er $(-{\bm{v}},-\bm{w})$ . Vektorrummet $V \times W$ defineret på denne måde kaldes også for produktet af $V$ og $W$ . Såfremt $V=W$ , så skriver vi også $V^2$ om $V \times V$ . Mere generelt er $V_1 \times V_2 \times \ldots \times V_n$ et $\mathbb{F}$ -vektorrum, såfremt hver af $V_i$ 'erne, for $i=1,2,\ldots,n$ , er et $\mathbb{F}$ -vektorrum. Her angiver $V_1 \times V_2 \times \ldots \times V_n$ mængder af tupler $({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ med ${\bm{v}}_i \in V_i$ , for $i=1,2,\ldots,n$ . Notationen $V^n$ anvendes desuden om vektorrummet $V \times V \times \ldots \times V$ ( $n$ kopier af $V$ ). Bemærk, at denne notation er konsistent med notationen $\mathbb{F}^n$ , såfremt vi identificerer rækkevektorer med de tilsvarende søjlevektorer.
Ifølge ovenstående så er $\mathbb{C}$ et $\mathbb{C}$ -vektorrum. Men vi kan også opfatte $\mathbb{C}$ som et $\mathbb{R}$ -vektorrum. Som addition der kan vi anvende den almindelige addition, som vi har på legemet $\mathbb{C}$ . Skalarmultiplikationer er givet ved, at hvis $\alpha \in \mathbb{R}$ og $\beta \in \mathbb{C}$ , så sættes skalarproduktet $\alpha \cdot \beta$ blot lig produktet af $\alpha$ og $\beta$ som elementer i $\mathbb{C}$ .

5.1 Underrum

En delmængde $S$ af et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ kaldes stabilt overfor addition, hvis summen $\bm{u} + {\bm{v}}$ er indeholdt i $S$ , såfremt $\bm{u}$ og ${\bm{v}}$ er elementer i $S$ . I givet fald, så definerer addition på $V$ en afbildning

$\begin{aligned} \mathcal A_S : S \times S & \rightarrow S, \\ (\bm{u}, {\bm{v}}) & \mapsto \mathcal A(\bm{u},{\bm{v}})=\bm{u} + {\bm{v}}. \end{aligned}$ Tilsvarende så kaldes $S$ stabilt overfor skalarmultiplikation, hvis $\alpha \cdot \bm{u} \in S$ såfremt $\bm{u} \in S$ og $\alpha \in \mathbb{F}$ . I givet fald opnås en afbildning

$\begin{aligned} \mathcal S_S : \mathbb{F} \times S & \rightarrow S \\ (\alpha, \bm{u}) & \mapsto \mathcal S(\alpha, \bm{u}) = \alpha \cdot \bm{u}. \end{aligned}$

Lad $S$ betegne en delmængde af et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ . Hvis $\bm{0} \in S$ og $S$ samtidig er stabil overfor addition og skalarmultiplikation, så definerer $S$ , sammen med funktionerne $\mathcal A_S$ og $\mathcal S_S$ , et $\mathbb{F}$ -vektorrum.

Bevis

Vi skal tjekke, at egenskaberne (a.)-(h.) i Definition 5.1 er opfyldt for $S$ . For egenskab (a.) skal vi f.eks. tjekke, at

$\bm{u} + {\bm{v}} = {\bm{v}} + \bm{u} \quad \text{for alle } \bm{u}, {\bm{v}} \in S. \tag{5.10}$ Men idet $S$ er en delmængde af $V$ , så kan vi opfatte (5.10) som en identitet i $V$ . Udnytter vi samtidig at $V$ er et vektorrum, og at addition og skalarmultiplikation på $S$ er induceret fra de tilsvarende begreber for $V$ , så ser vi at (5.10) er opfyldt. Tilsvarende viser man, at egenskaberne (b.), (c.) samt (e.)-(h.) i Definition 5.1 er opfyldt for $S$ . Endelig vil egenskab (d.) være opfyldt, hvis blot $-\bm{u}$ er indeholdt i $S$ , så snart $\bm{u}$ er et element i $S$ . Dette følger fra udsagn (3.) i Proposition 5.2, idet $S$ er stabilt overfor skalarmultiplikation og dermed indeholder $(-1) \cdot \bm{u}$ .

Vi definerer nu:

[Underrum] Et underrum af et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ er en delmængde $S$ af $V$ , der indeholder $\bm{0}$ og som er stabil overfor addition og skalarmultiplikation. Dvs. at en delmængde $S$ af $V$ er et underrum når

$\bm{0} \in S$ .
For alle $\bm{u}, {\bm{v}} \in S$ er $\bm{u} + {\bm{v}} \in S$ .
For alle $\bm{u} \in S$ og alle $\alpha \in \mathbb{F}$ er $\alpha \cdot \bm{u} \in S$ .

Vi opfatter, i givet fald, $S$ som et $\mathbb{F}$ -vektorrum via den inducerede addition og skalarmultiplikation fra $V$ (jf. Sætning 5.5).

Hvilke af følgende delmængder af det reelle vektorrum $\mathbb{R}^2$ er underrum.

$\{ (x,y)^T \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 \leq 1 \}$

$\{ (x,y)^T \in \mathbb{R}^2 \mid y = 2x+1 \}$

$\{ (x,y)^T \in \mathbb{R}^2 \mid y=2x \}$

$\{ (x,y)^T \in \mathbb{R}^2 \mid y=2x \\ \text{ eller } y=3x \}$

$\{ (x,y)^T \in \mathbb{R}^2 \mid y \leq 2x \}$

$\emptyset$

Hvis $V$ er et $\mathbb{F}$ -vektorrum, så er $V$ og $\{ \bm{0} \}$ underrum af $V$ . At $V$ er et underrum, er oplagt. At $\{ \bm{0} \}$ er stabil overfor addition og skalarmultiplikation, følger fra identiteten
$\bm{0} + \bm{0} = \bm{0},$ idet $\bm{0}$ er et neutralelement, samt idet
$\alpha \cdot \bm{0} = \bm{0} \quad \text{for } \alpha \in \mathbb{F},$ jf. Proposition 5.2.
Lad $\mathcal{L}$ betegne løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{0}$ , med $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ . Vi påstår, at $\mathcal{L}$ er et underrum i $\mathbb{F}^n$ . I første omgang indeholder $\mathcal{L}$ elementet $\bm{0}$ . Lad nu $\bm{u}$ og ${\bm{v}}$ betegne elementer i $\mathcal{L}$ . Så vil
$A \cdot \bm{u} = A \cdot {\bm{v}} = \bm{0}.$ Ifølge regneregler for matrixmultiplikation har vi derfor, at
$A \cdot (\bm{u} + {\bm{v}}) = A \cdot \bm{u} + A \cdot {\bm{v}} = \bm{0} + \bm{0} = \bm{0},$ og vi konkluderer, at $\bm{u}+{\bm{v}} \in \mathcal{L}$ . Tilsvarende har vi, at $\alpha \cdot \bm{u} \in \mathcal{L}$ , for $\alpha \in \mathbb{F}$ , idet
$A \cdot ( \alpha \cdot \bm{u}) = \alpha \cdot (A \cdot \bm{u}) = \alpha \cdot \bm{0} = \bm{0}.$ Samlet set så besidder $\mathcal{L}$ egenskaberne for at være et underrum af $\mathbb{F}$ -vektorrummet $\mathbb{F}^n$ . Vi kalder også $\mathcal{L}$ for nulrummet for matricen $A$ , og betegner denne mængde med notationen $N(A)$ .
En delmængde af $\mathbb{R}$ -vektorrummet $\mathcal{F}(X, \mathbb{R})$ er et underrum, hvis delmængden indeholder $\bm{0}$ (dvs. funktionen der antager værdien $0$ overalt), og delmængden er stabil overfor addition og skalarmultiplikation. Hvis f.eks. $X$ er et interval $I$ indenfor $\mathbb{R}$ , så vil delmængden
$C(I, \mathbb{R}) = \left\{ f : I \rightarrow \mathbb{R} \text{ kontinuert} \right\} \tag{5.11}$ af kontinuerte funktioner være et underrum af $\mathcal{F}(I,\mathbb{R})$ . Stabiliteten følger, idet $f+g$ og $\alpha \cdot f$ er kontinuerte funktioner, hvis $f$ og $g$ betegner kontinuerte funktioner, og $\alpha$ er et reelt tal. Derudover er nulfunktionen på $I$ kontinuert og dermed et element i $C(I, \mathbb{R})$ . Tilsvarende vil, hvis $I$ er et åbent interval i $\mathbb{R}$ , delmængden $C^{(n)}(I,\mathbb{R})$ af $n$ gange kontinuert differentiable funktioner være et underrum i $\mathcal{F}(I,\mathbb{R})$ . Faktisk vil $C^{(n)}(I,\mathbb{R})$ være et underrum af ethvert $C^{(k)}(I,\mathbb{R})$ for $k \leq n$ . Fællesmængen af alle underrum $C^{(n)}(I,\mathbb{R})$ , $n \geq 0$ , kaldes for mængden af vilkårligt ofte differentiable funktioner, og betegnes $C^{\infty}(I,\mathbb{R})$ . Da er $C^{\infty}(I,\mathbb{R})$ et underrum i alle $C^{(n)}(I,\mathbb{R})$ , for $n \geq 0$ .
Lad $X$ betegne en mængde. Enhver funktion
$f : X \rightarrow \mathbb{C}, \tag{5.12}$ bestemmer to reelle funktioner
$f_1, f_2 : X \rightarrow \mathbb{R}, \tag{5.13}$ så identiteten
$f(x) = f_1(x) + f_2(x) \cdot {i} , \tag{5.14}$ er opfyldt for alle $x \in X$ . Vi kalder $f_1$ og $f_2$ for hhv. realdelen og imaginærdelen af $f$ , og anvender også betegnelserne $\mathrm{Re}(f)$ og $\mathrm{Im}(f)$ herfor. Såfremt $I$ betegner et åbent interval i $\mathbb{R}$ , så definerer vi $C^{(n)}(I,\mathbb{C})$ som delmængden af $\mathcal{F}(I,\mathbb{C})$ bestående af funktioner $f$ opfyldende, at
$\mathrm{Re}(f), \mathrm{Im}(f) \in C^{(n)}(I,\mathbb{R}). \tag{5.15}$ Tilsvarende defineres $C^{\infty}(I,\mathbb{C})$ . Delmængderne $C^{(n)}(I,\mathbb{C})$ og $C^{\infty}(I,\mathbb{C})$ er dermed underrum af $\mathcal{F}(I,\mathbb{C})$ . Tilsvarende kan vi definere underrummet af kontinuerte komplekse funktioner $C(I,\mathbb{C})$ på et arbitrært interval $I$ .
Vektorrummet af reelle polynomier $P(\mathbb{R})$ er et underrum af $\mathbb{R}$ -vektorrummet $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ . Faktisk er $P(\mathbb{R})$ et underrum af alle $C^{(n)} (\mathbb{R},\mathbb{R})$ og dermed også af $C^{\infty} (\mathbb{R},\mathbb{R})$ .
Mængden $P_n(\mathbb{R})$ af reelle polynomier af grad $<n$ er et underrum af $P(\mathbb{R})$ . Tilsvarende gælder hvis $\mathbb{R}$ erstattes af $\mathbb{C}$ .
De eneste underrum af $\mathbb{F}$ er $\{ \bm{0} \}$ og $\mathbb{F}$ . Lad nemlig $S \neq \{ \bm{0} \}$ betegne et underrum i $\mathbb{F}$ , og vælg $\alpha \in S$ forskellig fra $0$ . Så
$\beta = (\beta \alpha^{-1}) \cdot \alpha \in S, \tag{5.16}$ for alle $\beta \in \mathbb{F}$ .
Lad $V \times W$ betegne produktet af to $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ og $W$ som defineret i Eksempel 5.4. Hvis $U$ betegner et underrum i $V$ , så kan $U \times W$ på oplagt vis betragtes som en delmængde af mængden $V \times W$ . Som sådan er $U \times W$ et underrum; faktisk er det som vektorrum identisk med produktet af $U$ og $W$ .

Quiz

Lad $V=C(\mathbb{R},\mathbb{R})$ betegne $\mathbb{R}$ -vektorrummet af kontinuerte reelle funktioner, $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Hvilke af følgende delmængder af $V$ er underrum?

$\{f\in V\mid \exists c \in \mathbb{R} \forall x \in \mathbb{R}: f(x) = c \}$ .

$\{f\in V\mid \forall x \in \mathbb{R}: f(x) \leqslant f(0) \}$ .

$\{f\in V\mid \exists a,b \in \mathbb{R} \\ \forall x \in \mathbb{R} : f(x)= ae^{b x} \}.$

$\{f\in V\mid \forall x \in \mathbb{R} : f(-x) =-f(x) \}.$

5.2 Span

I det følgende betegner $V$ et $\mathbb{F}$ -vektorrum, og ${\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n$ betegner en samling af elementer i $V$ . Vi ønsker at undersøge, hvilke elementer i $V$ man kan konstruere ved at anvende operationerne addition og skalarmultiplikation på ${\bm{v}}_i$ 'erne. I den forbindelse defineres:

[Linearkombination] Et element ${\bm{v}}$ i vektorrummet $V$ kaldes en linearkombination af ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n$ , hvis der eksisterer skalarer $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{F}$ , så

${\bm{v}} = \alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \cdots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n.$ I givet fald anvender vi også den korte notation ${\bm{v}}= \sum_{i=1}^n \alpha_i {\bm{v}}_i$ .

Bemærk, at betingelserne (a.)-(h.) i Definition 5.1 (faktisk alene (a.) og (b.)) sikrer, at notationen $\sum_{i=1}^n \alpha_i {\bm{v}}_i$ ikke kan opfattes tvetydigt.

Betragt det reelle vektorrum $\mathbb{R}^2$ og vektorerne

${\bm{v}} = \footnotesize \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \bm{w} = \footnotesize \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}. \tag{5.17}$ En linearkombination af ${\bm{v}}$ er et element i $\mathbb{R}^2$ på formen

$\alpha \cdot {\bm{v}} = \footnotesize \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \end{pmatrix}, \tag{5.18}$ for $\alpha \in \mathbb{R}$ . En linearkombination af ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ er et element i $\mathbb{R}^2$ på formen

$\alpha \cdot {\bm{v}} + \beta \cdot \bm{w} = \footnotesize \begin{pmatrix} \alpha+\beta \\ \beta \end{pmatrix}, \tag{5.19}$ for $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ . Ethvert element i $\mathbb{R}^2$ er dermed en linearkombination af ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ . Derimod er ikke alle elementer i $\mathbb{R}^2$ en linearkombination af ${\bm{v}}$ alene.

[Span] Mængden af alle linearkombinationer af ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n$ kaldes for spannet af elementerne ${\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n$ , og betegnes med

$\mathrm{Span}({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n).$

Bemærk, at $\mathrm{Span}({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ alene afhænger af elementerne ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2, \ldots,{\bm{v}}_n$ og ikke af deres rækkefølge.

Det følgende resultat viser, at $\mathrm{Span}({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ ikke blot er en delmængde af $V$ , men faktisk udgør $\mathrm{Span}({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ et underrum af $V$ . Tilmed er $\mathrm{Span}({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ det mindste underrum, der indeholder alle ${\bm{v}}_i$ 'erne. Mere præcist:

Mængden $\mathrm{Span}({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ udgør et underrum i $V$ indeholdende alle elementerne ${\bm{v}}_i$ , for $i=1,2,\ldots,n$ . Ethvert underrum af $V$ indeholdende ${\bm{v}}_i$ , for alle $i=1,2,\ldots,n$ , vil indeholde $\mathrm{Span}({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ som delmængde.

Bevis

Jf. Proposition 5.2 (1.), så vil

$0 \cdot {\bm{v}}_1 + 0 \cdot {\bm{v}}_2 + \cdots + 0 \cdot {\bm{v}}_n, \tag{5.20}$ være neutralelementet $\bm{0}$ i $V$ . Specielt indeholder $\mathrm{Span}({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ elementet $\bm{0}$ . Herudover gælder der, at

$\sum_{i =1}^n \alpha_i {\bm{v}}_i + \sum_{i=1}^n \beta_i {\bm{v}}_i = \sum_{i=1}^n (\alpha_i+\beta_i) {\bm{v}}_i \in \mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n),$ samt

$\alpha \cdot \sum_{i=1}^n \alpha_i {\bm{v}}_i = \sum_{i=1}^n (\alpha \alpha_i) {\bm{v}}_i \in \mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n) ,$ jf. regnereglerne i Definition 5.1. Vi konkluderer hermed, jf. Definition 5.6, at $\mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ er et underrum af $V$ . At $\mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ indeholder ${\bm{v}}_i$ , for $i=1,2, \ldots,n$ , følger af identiteten

${\bm{v}}_i= 0 \cdot {\bm{v}}_1 + \cdots + 0 \cdot {\bm{v}}_{i-1} + 1 \cdot {\bm{v}}_i + 0 \cdot {\bm{v}}_{i+1}+ \cdots + 0 \cdot {\bm{v}}_n. \tag{5.21}$

Lad nu $S$ betegne et underrum af $V$ , som indeholder alle ${\bm{v}}_i$ , for $i=1,2,\ldots,n$ . Dermed indeholder $S$ ethvert element på formen $\alpha_i {\bm{v}}_i$ for $\alpha_i \in \mathbb{F}$ , og specielt indeholder $S$ da alle endelige summer af elementer af denne form. Alle linearkombinationer af ${\bm{v}}_i$ 'erne er dermed indeholdt i $S$ , og $S$ vil derfor indeholde $\mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ som delmængde.

Såfremt $V = \mathrm{Span} ({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ , så siger vi, at mængden ${\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n$ udspænder $V$ , og vi omtaler ${\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n$ som en udspændende mængde. I givet fald, så er den udspændende mængde ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n$ blot en ud af mange mulige udspændende mængder for $V$ . F.eks. vil $V$ da også være udspændt af elementerne ${\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots, {\bm{v}}_n,{\bm{v}}$ , hvor ${\bm{v}}$ betegner et arbitrært element i $V$ .

Quiz

Som beskrevet i Eksempel 3.13 så er løsningsmængden $\mathcal{L}$ for det homogene ligningsystem

$\begin{alignedat}{3} l_1 & \colon 1 x_1 + 2 x_2 + & & 3 x_3 + 4 x_4 && = 0, \\ l_2 & \colon & & 2 x_3 + 4 x_4 && = 0, \end{alignedat}$ lig mængden af vektorer på formen

$\alpha {\footnotesize \begin{pmatrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} + \beta {\footnotesize \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}},$ hvor $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ . Specielt er

en udspændende mængde for $\mathcal{L}$ .

${\footnotesize{}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}}$

${\footnotesize{}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$

${\footnotesize{}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$

${\footnotesize{}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}}$

I Eksempel 5.10 fandt vi, at $\mathbb{R}^2$ var udspændt af de to vektorer

${\bm{v}} = \footnotesize \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \bm{w} = \footnotesize \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \tag{5.22}$ men at $\mathbb{R}^2$ ikke kunne udspændes af ${\bm{v}}$ alene.

Såfremt $V$ er udspændt af en endelig mængde, så er det ofte interessant at afgøre, hvor mange elementer man kan nøjes med i den udspændende mængde. Dette minimale antal kan anvendes som et mål for størrelsen af $V$ , og udgør grundlaget for dimensionsbegrebet for vektorrum, som vi nu vil definere.

[Dimension] Lad $V$ betegne et $\mathbb{F}$ -vektorrum. Vi definerer da:

Hvis $V= \{ \bf0 \}$ , så siger vi, at $V$ har dimension $0$ .
Hvis $V$ er forskellig fra $\{ \bm{0} \}$ og kan udspændes af $n$ elementer, men ikke af færre end $n$ elementer, så siger vi, at dimensionen af $V$ er lig $n$ .
Hvis $V$ ikke kan udspændes af en endelig mængde, så siges $V$ at have uendelig dimension.

Dimensionen af $V$ betegnes med $\mathrm{dim}(V)$ . Hvis $V$ har uendelig dimension skriver vi $\mathrm{dim}(V) = \infty$ .

Et vektorrum $V$ med $\mathrm{dim}(V)=0$ er nødvendigvis lig $\{ \bm{0} \}$ .
Et vektorrum $V$ har dimension $1$ , hvis $V \neq \{ \bf0 \}$ og $V$ kan udspændes af blot et element.
Lad $\bm{e}_i \in \mathbb{F}^n$ , for $i =1,2,\ldots,n$ , betegne vektoren hvis $i$ 'te koordinat er lig $1$ , mens de resterende koordinater er lig $0$ . Idet
$\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} = \alpha_1 \cdot \bm{e}_1 + \alpha_2 \cdot \bm{e}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot \bm{e}_n,$ så vil $\mathbb{F}^n$ være udspændt af elementerne $\bm{e}_1, \bm{e}_2, \ldots, \bm{e}_n$ . Specielt er dimensionen af $\mathbb{F}^n$ maksimalt lig $n$ . Senere viser vi, at dimensionen af $\mathbb{F}^n$ faktisk er lig $n$ .
Betragt en endelig samling af polynomier $p_1, p_2, \ldots, p_m \in P(\mathbb{R})$ forskellige fra nulpolynomiet. Lad $n$ betegne den maksimale grad af $p_i$ 'erne. Så vil $p_1,\ldots, p_m$ være indeholdt i underrummet $P_{n+1}(\mathbb{R})$ , og vi har dermed, ifølge Lemma 5.12, at
$\mathrm{Span}(p_1,p_2,\ldots,p_m) \subseteq P_{n+1}(\mathbb{R}).$ Idet $P_{n+1}(\mathbb{R})$ ikke udgør hele mængden $P(\mathbb{R})$ , så kan $p_i$ 'erne dermed ikke udspænde $P(\mathbb{R})$ . Vi konkluderer, at $\mathbb{R}$ -vektorrummet af reelle polynomier $P(\mathbb{R})$ har uendelig dimension; altså $\mathrm{dim}(P(\mathbb{R})) = \infty$ .

Quiz

Lad $V$ betegne et $\mathbb{F}$ -vektorrum og lad ${\bm{v}}_{1},{\bm{v}}_{2},{\bm{v}}_{3},{\bm{v}}_{4} \in V$ . Da vil det altid gælde, at

$\in$

$\subseteq$

$\subseteq V$ .

$\mathrm{Span}({\bm{v}}_{1}, {\bm{v}}_{3})$

$\mathrm{Span}({\bm{v}}_{1}, {\bm{v}}_{2}, {\bm{v}}_{4})$

${\bm{v}}_{3}$

$\mathrm{Span}({\bm{v}}_{2}, {\bm{v}}_{3}, {\bm{v}}_{4})$

$\mathrm{Span}({\bm{v}}_{1},{\bm{v}}_{2})$

$\mathrm{Span}({\bm{v}}_{1})$

${\bm{v}}_{2}$

5.2.1 Matrixprodukter og linearkombinationer

Vi vil nu beskrive en ekstrem vigtig sammenhæng mellem linearkombinationer og matrixproduktet. Betragt en matrix $A=(a_{ij}) \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ , med søjler betegnet med $\bm{a}_1, \bm{a}_2, \ldots, \bm{a}_n \in \mathbb{F}^m$ . Så

$\begin{aligned} A \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} a_{11} \alpha_1 + a_{12} \alpha_2 + \ldots + a_{1n} \alpha_n \\ a_{21} \alpha_1 + a_{22} \alpha_2 + \ldots + a_{2n} \alpha_n \\ \vdots \\ a_{m1} \alpha_1 + a_{m2} \alpha_2 + \ldots + a_{mn} \alpha_n \end{pmatrix} \\ & = \alpha_1 \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} + \alpha_2 \cdot \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix} + \ldots + \alpha_n \cdot \begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} \\ & = \alpha_1 \cdot \bm{a}_1 + \alpha_2 \cdot \bm{a}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot \bm{a}_n. \end{aligned}\tag{5.23}$ Matrixprodukter af formen $A \cdot {\bm{v}}$ , for ${\bm{v}} \in \mathbb{F}^n$ , kan dermed opfattes som linearkombinationer af søjlerne i $A$ . Faktisk ser vi, at

$\mathrm{Span}(\bm{a}_1,\bm{a}_2, \ldots,\bm{a}_n) =\left\{ A \cdot {\bm{v}} \, \vert \, {\bm{v}} \in \mathbb{F}^n \right\}. \tag{5.24}$ Underrummet (5.24) i $\mathbb{F}^m$ kaldes også for søjlerummet for $A$ og betegnes fremover med $R(A)$ (notationen er forklaret ud fra den engelske betegnelse range for søjlerummet). Vi bemærker:

Et lineært ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ har en løsning hvis og kun hvis $\bm{b} \in R(A)$ .

Bevis

At $\bm{b} \in R(A)$ betyder, jf. (5.24), at $\bm{b}$ er på formen $A \cdot {\bm{v}}$ for et passende ${\bm{v}} \in \mathbb{F}^n$ . Men dette er netop betingelsen for, at $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ har en løsning.

At løse ligningssystemet $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ svarer i den forbindelse til at bestemme alle mulige måder at opskrive $\bm{b}$ som en linearkombination af søjlerne i $A$ .

$\mathrm{dim}(\mathbb{F}^n)= n$ .

Bevis

I Eksempel 5.16 (c.) har vi allerede bemærket, at $\mathbb{F}^n$ kan udspændes af $n$ elementer. Vi skal dermed kun vise, at $\mathbb{F}^n$ ikke kan udspændes af færre end $n$ elementer.

Antag at $\mathbb{F}^n$ er udspændt af $m$ elementer $\bm{a}_1,\bm{a}_2,\ldots,\bm{a}_m \in \mathbb{F}^n$ ; dvs. antag, at

$\mathrm{Span}(\bm{a}_1,\bm{a}_2,...,\bm{a}_m) = \mathbb{F}^n. \tag{5.25}$ Lad nu $A \in \mathrm{Mat}_{n,m}(\mathbb{F})$ betegne matricen, hvis $i$ 'te søjle er lig $\bm{a}_i$ , for $i = 1,2,\ldots,m$ . Så implicerer identiteten (5.25), at $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ vil have en løsning for ethvert $\bm{b} \in \mathbb{F}^n$ , jf. Lemma 5.18.

Lad nu $\bm{e}_i \in \mathbb{F}^n$ betegne den $i$ 'te søjle i identitetsmatricen $\mathrm{I}_n$ , og lad $\bm{b}_i \in \mathbb{F}^m$ , for $i = 1,2,\ldots,n$ , betegne en løsning til det lineære ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{e}_i$ . Lad herefter $B \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ betegne matricen, hvis $i$ 'te søjle er $\bm{b}_i$ , for $i = 1,2,\ldots,n$ . Så gælder der, at

$A \cdot B = \left(\begin{array}{c|c|c|c} A \cdot \bm{b}_1 & A \cdot \bm{b}_2 & \cdots & A \cdot \bm{b}_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c|c|c|c} \bm{e}_1 & \bm{e}_2 & \cdots & \bm{e}_n \end{array}\right) = \mathrm{I}_n. \tag{5.26}$ Vi påstår nu, at det homogene lineære ligningssystem $B \cdot \bm{x} = \bm{0}$ kun har nulvektoren som løsning. Antag nemlig, at ${\bm{v}} \in \mathbb{F}^n$ er en løsning til $B \cdot \bm{x} = \bm{0}$ ; dvs. at $B \cdot {\bm{v}} = \bm{0}$ . Så vil

${\bm{v}} = \mathrm{I}_n \cdot {\bm{v}} = (A \cdot B) \cdot {\bm{v}} = A \cdot (B \cdot {\bm{v}}) = A \cdot \bm{0} = \bm{0}, \tag{5.27}$ som ønsket.

Idet $B \cdot \bm{x} = \bm{0}$ kun har nulvektoren som løsning, så implicerer Proposition 1.18 nu, at $m \geq n$ som påstået.

Quiz

Lad $A \in$ Mat $_{3,4}(\mathbb{F})$ betegne en matrix med søjler $\bm{a}_{1},\bm{a}_{2},\bm{a}_{3},\bm{a}_{4} \in \mathbb{F}^{3}.$ Angiv et $\bm{x}$ , der løser det lineære ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ , når

$\bm{b} = 3\cdot\bm{a}_{1} + \bm{a}_{3} + 8\cdot\bm{a}_{4}.$

Dit svar: Det er en